Archive for the ‘Maths’ Category

Cryptographie

février 6th 2010

Voici quelques adresses et ressources pour déchiffrer certains codes procédant par une substitution monoalphabétique.

LIVRES.

RESSOURCES INFORMATIQUES

PREMIER ENTRAINEMENT :

Déchiffrez :

EMZME SAKWL KFVKZ GTKEE KDVMZ MESAK XKWLK FVKZN KAKAG VZKPK GHDXK XKNLS YGMZM ESAKX KNDVC KLGKY MLMER TZXTM VZKVC TKPKA TKNEK KEEKN DZATA GKMKQ MPTZK LEMWL KFVKZ NKXKA EKGGL KAKPY EDSKK AXMZA VZPKA AMOKN HTWWL KNKGG KPKGH DXKKA GWLKF VKPPK ZGVGT ETAKK YDVLX KNDXK LXKAP KAAMO KANHT WWLKA YMLAV BAGTG VGTDZ XDZGV ZKQKP YEKGL KAATP YEKKA GEKNH TWWLK XKNKA MLEMZ MESAK WLKFV KZGTK EEKKA GBMAK KAVLE KWMTG FVKXM ZANHM FVKEM ZOVKN KLGMT ZKAEK GGLKA DVNDP BTZMT ADZAX KEKGG LKAMY YMLMT AAKZG MCKNV ZKNKL GMTZK WLKFV KZNKY MLKQK PYEKK ZWLMZ NMTAE KKKAG EMEKG GLKEM YEVAV GTETA KKAVT CTKXV MKGXV ATZCK LAKPK ZGEKJ KAGYK VVATG KNKAT ZWDLP MGTDZ AYKLP KGGKZ GMVQN LSYGM ZMESA GKAXK WMTLK XKAHS YDGHK AKAAV LEKGK QGKNE MTLMN DZXTG TDZFV KEMEO DLTGH PKXKN HTWWL KPKZG NDZAK LCKEM LKYML GTGTD ZXKAW LKFVK ZNKAN KFVTK AGEKN MAYDV LXKAA VBAGT GVGTD ZAPDZ DMEYH MBKGT FVKAK GYDES MEYHM BKGTF VKAVZ KXKVQ TKPKN DZXTG TDZKA GZKNK AAMTL KYDVL MYYET FVKLN KGGKG KNHZT FVKNK AGEME DZOVK VLXVP KAAMO KMXKN LSYGK LKZKW WKGVZ GKQGK GLDYN DVLGZ KLKWE KGKYM ADBET OMGDT LKPKZ GEMLK YMLGT GTDZO KZKLM EKXKA WLKFV KZNKA XKAEK GGLKA XKYEV AATEM NEKKA GXKEM PKPKE DZOVK VLFVK EKPKA AMOKT EZKYD VLLMS MCDTL XKALK YKGTG TDZAX KEKGG LKAKG EMZME SAKWL KFVKZ GTKEE KAKLM TPYDA ATBEK

Si vous souhaitez répondre, faites-le sur le forum !

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Pourquoi choisir la spé math en TS ?

janvier 10th 2009

Les élèves de 1ère S doivent choisir leur option pour la classe de Terminale S. Math, Physique, ou SVT.

Les horaires, le bac

La discipline est enseignée deux heures par semaine en plus du tronc commun, et possède un programme qui lui est propre. Au baccalauréat, la partie de spécialité est évaluée en même temps que l’épreuve du tronc commun, et concerne le quart des points. Un des exercices de l’épreuve diffère, selon le choix de votre spécialité.

Contenu de la spécialité Math.

Il y a trois parties :

  • L’arithmétique. Ce chapitre traite des propriétés des nombres entiers. Très peu de connaissances des classes précédentes sont nécessaires. C’est pourtant un chapitre1 qui a tendance à déstabiliser les élèves, car les raisonnements sont nouveaux (récurrence, raisonnement par l’absurde, disjonction des cas,…). On apprend aussi à écrire les nombres dans d’autres bases que la base 10.
  • Les similitudes planes et les nombres complexes. C’est un chapitre de géométrie, utilisant beaucoup le chapitre sur les nombres complexes vue dans la partie d’obligatoire. On donne un cadre général des connaissances sur les translations, rotations, homothéties, symétries.
  • Surfaces et plans de l’espace. Il s’agit essentiellement de géométrie analytique.

La spécialité Math  est-elle faite pour vous ?

Quelques considérations propres aux trois disciplines :

Il faut être prêt à faire deux heures de cours en plus, ainsi qu’un travail personnel, pour la discipline en question. Si vous n’aimez pas du tout une de ces matières, ne la prenez pas !
Il faut avoir quelques idées sur ce que vous souhaitez faire après votre bac. Si vous envisagez une classe préparatoire, sachez que le contenu d’une spé physique se rattrape plus vite que celui d’une spé math., et que le choix d’une spé SVT n’est pas pertinent, à l’exception cependant de la BCPST2.

Une spécificité du programme de spécialité math par rapport au tronc commun, en dehors du contenu proprement dit, est la place beaucoup plus importante faite à la démonstration. On démontre la plupart des propriétés du cours. C’est ce qui déroute le plus les élèves au départ. En ce sens, c’est plus exigeant et c’est une bonne préparation pour les classes prépas ou une licence de maths.

Enfin, si vous hésitez, posez la question à votre professeur, qui vous dira s’il pense que votre choix est raisonnable ou non.

Annexe

Je vous signale enfin la brochure « Zoom sur les métiers des mathématiques », qui montre par l’exemple différents domaines où les maths interviennent. Elle est l’initiative de quatre associations : la Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles (SMAI), la Société Mathématique de France (SMF), la Société Française de Statistique (SFDS) et l’association Femmes et Mathématiques. Le projet a été coordonné par Brigitte Lucquin et réalisé en partenariat avec l’Onisep.

Cette brochure présente une galerie d’une vingtaine de portraits de jeunes femmes et hommes récemment engagés dans la vie active dans des métiers essentiellement hors enseignement et recherche universitaire - pour lesquels une formation mathématique de base joue un rôle fondamental.

Un lien vers le site l’Etudiant montrant l‘adéquation entre la spé et les études supérieures

  1. Pour faire une idée, vous pouvez télécharger ce cours dialogué d’arithmétique qu’a écrit G. Connan ↩
  2. environ un candidat sur trois est reçu au concours A bio, qu’il soit issu de la TS spé physique, svt, ou math ↩

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Damier…

octobre 28th 2008

Je demandais là :
combien il y a dee rectangles dans un damier (3,3), (4,4), (100,1), et (20,20).
et de
proposez une taille de grille qui vous donne un nombre de rectangles le plus proche de 2008, et de 1000.

Pour vous aider :
marche pô

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Arithmétique shadok

octobre 10th 2008

Cet article est la conclusion du défi n°4 proposé à mes élèves de 4ème. Il trouvera peut-être également un accueil intéressé par élèves se frottant à l’arithmétique en classe de TS

Connaissez-vous les shadoks ?

Ce sont les héros d’une émission qui passait à la télévision il y a quelques dizaines d’années… On retrouve leurs aventures assez facilement sur YouTube et autre.

Voici une présentation de la réforme de la manière de compter !
«
Éduquer les Shadoks n’était pas chose facile. Leurs cerveaux, en effet, avaient une capacité tout à fait limitée. Ils ne comportaient en tout que quatre cases.
Et encore, ce n’était pas toujours vrai parce que bien souvent il y en avait de bouchées.
[...]
Quand il n’y a pas de Shadok, on dit GA
Quand il y a un Shadok de plus ou n’importe quoi d’autre, on dit BU
Quand il y a encore un Shadok, on dit ZO
Et quand il y en a encore un autre, on dit MEU

- Et après ?
»

http://www.youtube.com/watch?v=X9l8u4SjRcI

Pour GA, on note \GA
Pour BU, on note \BU
Pour ZO, on note \ZO
Pour MEU, on note \MEU

Dans la variante alsacienne des shadoks, nous avons ajouté \STRA pour compter 4 shadoks.
Au delà de 4 shadoks, voici comment on procède :
il faut comprendre que, comme pour nous, la place des chiffres des shadoks a une importance1.
Ainsi, \BU\ZO et \ZO\BU ne représentent pas la même chose, tout comme 12 et 21 en humain.

Mais, les shadoks strasbourgeois comptent avec 5 chiffres (\GA, \BU, \ZO, \MEU, et \STRA), à la différence de nous les humains qui comptons avec 10 chiffres2 (0, 1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, et 9).

Un \BU tout à droite signifie 1
Un \BU\GA signifie “le nombre juste plus grand que les 4 unités”, c’est-à-dire 5 (le nombre juste après \MEU)
Un \BU\GA\GA représente 25 (le nombre juste après \MEU\MEU=4\times5+4)
Un \BU\GA\GA\GA représente 125 (le nombre juste après \MEU\MEU=4\times25+4\times5+4)

Etc…

Plus formellement, on dit que les shadoks alsaciens utilisent une “numération positionnelle de base 5″.

On n’utilise que les chiffres 0, 1, 2, 3, et 4,
on surmonte le nombre d’une barre, suivi de la base choisie.
Pour écrire \ZO \GA\BU \MEU \STRA, on adoptera  \overline{20134}^5.

Exemple : on peut transcrire dans notre système habituel : \overline{20134}^5=2\times 625 + 0\times 125 +1\times 25+1\times 5 +4=1294

Si on connait la notation puissance, que l’on apprend en 4ème, qui permet d’écrire que 5\times5=5^2, et 5\times 5\times 5=5^3, etc., on a également :
\overline{20134}^5=2\times 5^4 + 0\times 5^3 +1\times 5^2+1\times 5^1 +4\times 5^0=1294

Et, en chemin inverse, on peut prouver que 2008 s’écrit\MEU \BU \GA \BU \MEU, par une méthode non détaillée ici.

Les élèves de terminale retiendront la définition générale : \overline{a_n a_{n-1}\dots a_3 a_2 a_1}^p=\ds\sum_{k=0}^n a_k p^k

Que vaut \overline{101101110}^2  en base 7 ?! Vous pouvez répondre sur le forum.

  1. les mathématiciens parlent d’une numération positionnelle ↩
  2. et c’est pour cela qu’on parle de numération décimale, ou “de base 10″ ↩

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Maths = calcul ?

septembre 4th 2008

L’identification est habituelle : faire des maths, c’est faire des calculs.

Et les calculs étaient nécessaires, depuis l’antiquité :
le berger, le soir, avait-il bien récupéré toutes les brebis qu’il avait gardé toute la journée ?
combien l’agriculteur peut-il espérer obtenir d’argent pour sa récolte ?

Les élèves, qui souffrent durant l’apprentissage des bases de l’algèbre, souvent pestent contre le calcul. Et, franchement, maintenant que les règles sont bien établies (et depuis un bout de temps !), à quoi sert encore de calculer ?! Les calculatrices font cela très bien !

Voici un site internet qui résout tous les problèmes de calcul que les élèves du secondaire rencontrent.

Encore plus fort, il donne les étapes avec les commentaires de ces étapes ! Voyez par exemple comment il résout \displaystyle\frac{\frac{1}{2}x+7}{-5x+\frac{1}{3}}\geqslant \frac{2}{3}… Aucun détail n’est omis1 !

Alors, à quoi bon apprendre à calculer ?


… et si les mathématiques n’étaient pas juste faire du calcul… ?

… et si, même quand on fait un calcul, on apprenait autre chose que juste à trouver la réponse à notre problème… ?

  1. par contre, on notera que les anglo-saxons sont moins friands que nous des tableaux de signes… Pour les élèves un peu faibles en algèbre, et pour peu qu’ils se donnent la peine de lire les explications, ils trouveront dans ce site un moyen d’avoir des explications ultra-détaillées de toutes les étapes permettant d’aboutir à la résolution de l’équation. ↩

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Les mathématiques sont-elles la vérité ?

septembre 3rd 2008

Certains pensent que, si une propriété est démontrée mathématiquement, alors elle est vraie. Est-ce si simple ? Sur quoi reposent dont les mathématiques ?

Euclide, IIIe siècle avant J.C., avait mis en place les règles de la géométrie, c’est-à-dire un ensemble de règles minimales qui permettaient de déduire toutes les autres. On appelle cela une axiomatique. Les voici :

  1. Étant donnés deux points A et B, il existe une droite passant par A et B
  2. Tout segment [AB] est prolongeable en une droite passant par A et B
  3. Pour tout point A et tout point B distinct de A, on peut décrire un cercle de centre A passant par B
  4. Tous les angles droits sont égaux entre eux
  5. Par un point extérieur à une droite, on peut mener une parallèle et une seule à cette droite

Euclide a également définit les mots points, droites, etc.. Il a ensuite établi ses premières propriétés…

Bien des mathématiciens ont discutés le choix de ces axiomes. Aussi, tous les théorèmes qui en découlent ne sont vrais QUE dans l’axiomatique définie. Une condition absolue est qu’il n’y ait pas de conflit entre les différents axiomes posés (on parle de système cohérent)

Des générations de mathématiciens ont essayés de démontrer le 5ème axiome (ou postulat), tellement il semblait qu’il découlait du reste. Mais il résistait. Pire, des mathématiciens ont même pu supposer le contraire, sans que tout l’édifice ne s’écroule. Cela a donné naissance aux géométries dites non-euclidiennes. Elles peuvent paraitre fantaisistes, mais ce sont elles qui ont permit de mieux comprendre les structures possibles de l’univers !

Voir aussi un article détaillé sur les géométries non euclidiennes.

Une BD, téléchargeable en ligne, vous montre ce qui change quand on a des plans dans lesquels la somme des angles ne fait pas un angle plat !

Le XXe siècle a connu une axiomatisation de tous les champs des mathématiques. Même l’ensemble des entiers naturels, avec ses propriétés intuituves, a été axiomatisé par Peano :

Il existe un ensemble N non vide qui vérifie est axiomes suivants :

  1. Il existe une application s de N dans N pour laquelle tout élément n’admet au plus qu’un antécédent.
  2. Il existe un élément de N, noté 0, n’ayant aucun antécédent
  3. Si la partie E de N contient 0 et vérifie n\in E \Rightarrow s(n)\in E, alors E=N

Mais ceci est une histoire à part…

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Architecture…

août 10th 2008

Voici une voûte 1, chef d’oeuvre de l’art gothique.


Envoyez-moi vos photos de vacances à thème mathématique !

On peut modéliser sommairement l’allure des piliers avec K3dSurf :

Quelle est l’équation de la surface ? (basé sur les connaissances du programme de Spé math de TS)

  1. Eglise des Françiscains de Salzburg ↩

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Ca a l’air si évident…

août 2nd 2008

On dispose d’un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6, équilibré.

  1. Quelle est la probabilité d’obtenir (au moins !) un 1, en lançant une fois le dé ?
  2. Combien de fois (au minimum) faut-il lancer le dé pour qu’on double (au moins) ses chances ?

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Suites et épidémiologie.

juin 11th 2008

Une population est séparée en trois sous-ensembles :

  • Les personnes “saines”, non vaccinées, suceptibles d’être atteintes par la maladie contagieuse étudié (suite (s_n))
  • les personnes malades et donc contagieuses (suite (z_n))
  • les personnes vaccinées, ou guéries (ou décédées) : elles ne sont pas susceptibles de retomber malade, et ne peuvent contaminer personnes (suite (t_n))

Hypothèses :

  1. le nombre de personnes qui tombent malade est proportionnel au taux de personnes contagieuses et au nombre de personnes saines. Soit : z_{n+1}-z_{n}=\alpha\, s_n z_n)
  2. le nombre de personnes qui guérissent est proportionnel au nombre de personnes malades : t_{n+1}-t_n=\beta\, z_n

On peut visualiser cette évolution sur un tableur :propagation-virus-modele-realiste (version Excel) et propagation-virus-modele-realiste (version OpenDocument)

On peut essayer de trouver des valeurs de \alpha,\,\beta,\,s_0,\,z_0,\,t_0 qui montrent les différentes évolutions possibles.

L’observation la plus intéressante est sans doute de pouvoir observer pourquoi il est important de vacciner une population, même si on ne vaccine que 2/3 d’entre elle ! Cela protège tout le monde davantage.

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Des codes-barres en 2D

mai 29th 2008

On voit de plus en plus fleurir des pictogrammes comme celui-ci :

Ils sont les remplaçants des code-barre1.
On peut y mettre une adresse internet, comme ce-dessous, ou tout un texte. Voici le théorème de Pythagore :

Les standards se cherchent encore un peu.
On trouve des logiciels embarqués dans les téléphones portables pour lire ces messages. Par exemple ici, un logiciel de bonne facture.

La quantité d’information que l’on peut stoker dépend de la taille du carré. S’il a pour côté n, on dispose de n^2 bits, c’est-à-dire que l’on peut théoriquement en faire 2^{(n^2)}=2^{2n} différents. En codant les caractères sur 8 bits, comme c’est le cas pour l’ASCII, on peut mettre 18 caractères sur un carré de 12 de côté.
Si on ne code qu’un numéro, rien que sur un carré de 6 par 6, on dispose de plus de 60 milliards de numéros différents. Un consortium s’est formé autour des opérateurs de téléphonie mobile, qui utilise cette technique, commercialisée sous le nom de FlashCode. Le principe est de transmettre à un serveur internet le fameux numéro, et le serveur renvoie au demandeur toutes les informations liées à ce numéro. Cela peut être dans les cas les plus courant des coordonnées, comme pour :

CSE

Les informations contenues dans ce tag sont les chiffres écrits ci-dessus. Quand vous le décodez avec votre téléphone, le logiciel vous demandera d’aller sur internet pour récupérer dans une base de données  les informations liées à ce numéro.

La NASA a été une des premières à utiliser le système pour identifier toutes les pièces utilisées dans les processus de fabrication des fusées :

Comme dans toute transmission, il y a des possibilités d’erreurs, dans la lecture, dans la qualité de la transmission. Aussi faut-il s’en prémunir dans la mesure du possible. (à suivre)

  1. Bon, il y a aussi les puces RFID, mais c’est une autre histoire ↩

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