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Arithmétique shadok

octobre 10th 2008 09:53

Cet article est la conclusion du défi n°4 proposé à mes élèves de 4ème. Il trouvera peut-être également un accueil intéressé par élèves se frottant à l’arithmétique en classe de TS

Connaissez-vous les shadoks ?

Ce sont les héros d’une émission qui passait à la télévision il y a quelques dizaines d’années… On retrouve leurs aventures assez facilement sur YouTube et autre.

Voici une présentation de la réforme de la manière de compter !
«
Éduquer les Shadoks n’était pas chose facile. Leurs cerveaux, en effet, avaient une capacité tout à fait limitée. Ils ne comportaient en tout que quatre cases.
Et encore, ce n’était pas toujours vrai parce que bien souvent il y en avait de bouchées.
[...]
Quand il n’y a pas de Shadok, on dit GA
Quand il y a un Shadok de plus ou n’importe quoi d’autre, on dit BU
Quand il y a encore un Shadok, on dit ZO
Et quand il y en a encore un autre, on dit MEU

- Et après ?
»

http://www.youtube.com/watch?v=X9l8u4SjRcI

Pour GA, on note $\GA$
Pour BU, on note $\BU$
Pour ZO, on note $\ZO$
Pour MEU, on note $\MEU$

Dans la variante alsacienne des shadoks, nous avons ajouté $\STRA$ pour compter 4 shadoks.
Au delà de 4 shadoks, voici comment on procède :
il faut comprendre que, comme pour nous, la place des chiffres des shadoks a une importance¹.
Ainsi, $\BU\ZO$ et $\ZO\BU$ ne représentent pas la même chose, tout comme 12 et 21 en humain.

Mais, les shadoks strasbourgeois comptent avec 5 chiffres ( $\GA$ , $\BU$ , $\ZO$ , $\MEU$ , et $\STRA$ ), à la différence de nous les humains qui comptons avec 10 chiffres² (0, 1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, et 9).

Un $\BU$ tout à droite signifie 1
Un $\BU\GA$ signifie “le nombre juste plus grand que les 4 unités”, c’est-à-dire 5 (le nombre juste après $\MEU$ )
Un $\BU\GA\GA$ représente 25 (le nombre juste après $\MEU\MEU=4\times5+4$ )
Un $\BU\GA\GA\GA$ représente 125 (le nombre juste après $\MEU\MEU=4\times25+4\times5+4$ )

Etc…

Plus formellement, on dit que les shadoks alsaciens utilisent une “numération positionnelle de base 5″.

On n’utilise que les chiffres 0, 1, 2, 3, et 4,
on surmonte le nombre d’une barre, suivi de la base choisie.
Pour écrire $\ZO \GA\BU \MEU \STRA$ , on adoptera $\overline{20134}^5$ .

Exemple : on peut transcrire dans notre système habituel : $\overline{20134}^5=2\times 625 + 0\times 125 +1\times 25+1\times 5 +4=1294$

Si on connait la notation puissance, que l’on apprend en 4ème, qui permet d’écrire que $5\times5=5^2$ , et $5\times 5\times 5=5^3$ , etc., on a également :
$\overline{20134}^5=2\times 5^4 + 0\times 5^3 +1\times 5^2+1\times 5^1 +4\times 5^0=1294$

Et, en chemin inverse, on peut prouver que 2008 s’écrit $\MEU \BU \GA \BU \MEU$ , par une méthode non détaillée ici.

Les élèves de terminale retiendront la définition générale : $\overline{a_n a_{n-1}\dots a_3 a_2 a_1}^p=\ds\sum_{k=0}^n a_k p^k$

Que vaut $\overline{101101110}^2$ en base 7 ?! Vous pouvez répondre sur le forum.

les mathématiciens parlent d’une numération positionnelle ↩
et c’est pour cela qu’on parle de numération décimale, ou “de base 10″ ↩

Posted by Daniel under Club & Maths |

One Response to “Arithmétique shadok”

DispoWeb responded on 18 oct 2008 at 21:45 #

Tiens vraiment intéressant, je connais les shadok mais jamais fait attention à leur méthodes de calcul et c’est bien à savoir

Merci pour ce petit cours, rappel et 15 minutes de casse-tête