Évolution de population

septembre 26th 2009 08:08

Observons l’évolution conjointe de deux populations. Les lynx et les petits rongeurs. On appelle L_n la population de linx après la nième unité de temps, et r_n celle des rongeurs.

Souvenons-nous que le taux d’accroissement d’une population p_n est donné par la quantité
\dfrac{p_{n+1}-p_n}{p_n}

Dès lors, comment exprimer ces deux taux l’un en fonction de l’autre ? Il faudrait disposer des données réelles, et observer les valeurs réelles de ces taux en fonction des populations.

Faisons les hypothèses suivantes :

  • En l’absence de linx, la population de rongeurs croit de 5%
  • En l’absence de rongeurs, la population de linx décroit de 4%
  • En la présence de 25 linx, la population de rongeurs est stable (taux d’accroissement nul)
  • En la présence de 800 rongeurs, la population de rongeurs est stable (taux d’accroissement nul)

(figures avec les représentations graphiques à suivre)

L’hypothèse la plus simple est d’extrapoler la valeur de ce taux de manière linéaire.

Cela conduit au système suivant :
\left\{\begin{array}{l} \dfrac{r_{n+1}-r_n}{r_n} = 0,05-0,002l_n \\\dfrac{l_{n+1}-l_n}{l_n} =-0,04+0,00005r_n \end{array}\right.

soit encore
\left\{\begin{array}{l} r_{n+1}=1,05r_n-0,002l_nr_n \\l_{n+1}=0,96l_n+0,00005r_nl_n \end{array}\right.

On peut programmer cela dans un tableur. Voici ce qu’on obtient :

Evolution de la population en fonction du temps

Evolution de la population en fonction du temps

On peut même représenter une population en fonction d’un autre. Cela donne :

Posted by Daniel under Non classé |

One Response to “Évolution de population”

  1. Dr. Goulu responded on 27 sept 2009 at 16:05 #

    Un bon début, bravo. Je me permets quelques suggestions :

    -le premier graphique laisse supposer que les cycles s’amplifient avec le temps. Il aurait fallu laisser la simulation converger vers un cycle limite. Si ce cycle n’existe pas (système instable), c’est qu’il manque quelque chose au modèle… La mortalité naturelle ?

    - un autre effet “limitateur” apparait en utilisant des variables entières plutôt que continues. Avec des passages à moins de 10 prédateurs, ça joue un rôle…

    - Le linx, c’est une variété de lynx ? ;-)

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